Una paralelización de un algoritmo de proyecciones para la resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales elípticas.

Investigadores

Xiomara Contreras.

Mariela Curiel.

Angela Di Serio.

Objetivo

El proyecto tiene como alcance a corto plazo desarrollar una implementación en paralelo para el método sobre una arquitectura MIMD de memoria distribuida. Este método es aplicable en un marco bien amplio pero a efectos de nuestro interés lo utilizaremos en la resoluci\'on de Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales Elípticas.

Antecedentes

Es frecuente en problemas de ciencia e ingeniería encontrar modelos asociados a estos, que involucran la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales, que deben resolverse mediante la aplicación de técnicas que permitan aproximar la solución analítica de los mismos.
El método de nuestro estudio es aproximante y se considera entre los esquemas de proyección, en este sentido ofrece un enfoque diferente a la forma tradicional de atacar tales problemas y puede implementarse en ambientes de multiprocesamiento.

En trabajos previos encontramos métodos de proyección en los trabajos: de Cimmino y Kaczmarz quienes proponen métodos iterativos para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante proyección cíclica sobre el hiperplano definido por una ecuación. Posteriormente Agmon, Motzkin y Schoemberg utilizan idéntico criterio pero aplicado a sistemas de desigualdades lineales.

Tradicionalmente, los problemas que consideramos se han enfrentado básicamente aplicando métodos de elemento finito y de discretización. En algunos de estos es necesario resolver un subsistema algebraico lineal o no-lineal que puede carecer de propiedades como por ejemplo simetría, definido-positivo etc, lo que influye en forma negativa al resolver este sistema. El método considerado es novedoso y resuelve estos problemas directamente utilizando las ideas básicas propuestas en la metodología de proyecciones sucesivas, para resolver el problema de factibilidad en un conjunto convexo.

Actualmente debido a los avances tecnológicos logrados por la electrónica es posible disponer de una herramienta que permitiría reducir el tiempo de cómputo y distribuir el gasto de memoria sobre diferentes procesadores cuando se trata una aplicación que requiere de grandes volümenes de información o data a procesarse.
Aplicaciones como estas pueden obtenerse a partir del modelaje de un sitema físico (conducción de calor, problemas de elasticidad ), de un modelo en bio-medicina (reconstrucción de imágenes etc.).
Aquí surge la idea de soportar un método que en las experiencias iniciales es alentador una herramienta de gran alcance.

Fundamentación y viabilidad de la investigación

La investigación tiene como base un método robusto para atacar problemas como el que proponemos, con fuerte soporte teórico. Nuestro trabajo obtiene una aproximación de la solución original en un subespacio generado por un conjunto finito en un espacio con producto interno K, este subespacio lo denominamos el generado por los ``B-splines''tridimensionales definición análoga a la dada para ``Bicubic spline''. En este primer nivel coincide el desarrollo, con un metodo clásico de elemento finito, pero recalcamos que no resolvemos un sistema algebraico posterior nos conservamos en el espacio original y aplicamos la metodología de proyecciones sucesivas.

Por otra parte, es de interés práctico la posibilidad de:

• Diseñar un prototipo básico sobre esta plataforma de trabajo que con relativos pocos ajustes puede aplicarse a otros operadores lineales.
  
• Al existir el prototipo básico pueden analizarse
  mecanismos de aceleración de convergencia e incluso nuevos esquemas de paralelizar que pueden resultar beneficiosos para el desempeño del método a nivel global.
  
• Tipificar ciertos operadores lineales sobre los cuales estandarizar la aplicación del método.
  

Información